domingo, 7 de noviembre de 2010

Solucion Final

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Optimizacion 2

Acercamiento al problema

Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
Solución
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Optimizacion 1

Recortando convenientemente en cada esquina de una lámina de cartón de dimensiones 80 cm x 50 cm un cuadrado de lado x y doblando convenientemente (véase figura), se construye una caja. Calcular x para que volumen de dicha caja sea máximo.
Figura
Solución
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Criterios de la 1ra y 2da Derivada



 

Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y 
los valores mínimos de una función

Además de proporcionar información sobre la concavidad de la gráfica de una función, la segunda derivada permite establecer si un punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo. 

El siguiente teorema se refiere a este segundo aspecto. 
Teorema

Sea f una función con dominio D. 

Si $f'(x)$ está definida para $x \in ]a,b[$ donde $]a,b[ \subset D$ y si $f'(x_{0})=0$ con $x_{0} \in ]a,b[$entonces:
a.
$f(x_{0})$ es un valor máximo relativo de f si se cumple que $f''(x_{0})<0$
b.
$f(x_{0})$ es un valor mínimo relativo de f si se cumple que $f''(x_{0})>0$

Demostración: Al final del capítulo.
Ejemplos: 

Utilizando el teorema anterior vamos a determinar los valores máximos y los valores mínimos de las funciones cuyas ecuaciones son:

1.   
$f(x)=\displaystyle\frac{x^2}{x+1}$, $x \in ]-4,2[$
Note que la función f no está definida en $x=-1$ 

La derivada de f está dada por $f'(x)=\displaystyle\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$, $x \neq -1$ 

Los valores críticos de f se obtienen cuando $f'(x)=0$. En este caso, $f'(x)=0$ si y solo si $x=0$, ó $x=-2$. 

Ahora, la segunda derivada de f es $f''(x)=\displaystyle\frac{2}{(x+1)^3}$ 

Vamos a evaluar $f''(x)$ en $x=0$ y en $x=-2$

a.
$f''(0)=2$; como $2 > 0$ entonces $f(0)$ es un valor mínimo relativo de f.
b.
$f''(-2)=-2$; como $-2<0$ entonces $f(-2)$ es un valor máximo relativo de f.
Gráficamente se tiene en el intervalo $]-4,2[$ 

2.
Se tiene que $D_{g} = I \! \! R$ 

La primera derivada de g está dada por  


Como $g'(x)=0$ cuando $x=1$ y cuando $x=6$ entonces estos son los valores críticos de g. 

La segunda derivada de g es $g''(x)=\displaystyle\frac{5(x-3)}{3\sqrt[3]{x-1}}$ 

Evaluando $g''(x)$ en $x=6$ se tiene que   
 que es mayor que cero, por lo que $g(6)$ es un valor mínimo relativo de g. 

Observe que $g''$ no puede evaluarse en $x=1$ pues hace cero el denominador por lo que para este valor crítico debe utilizarse el criterio de la primera derivada. 

Analizando $g'(x)=(x-1)^\frac{2}{3} (x-6)$ se obtiene que $g'(x)<0$ para $x \in ]-\infty,1[$ y $g'(x)<0$ para $x \in ]1,6[$ por lo que al no existir cambio de signo resulta que $f(1)$ no es ni máximo ni mínimo. El gráfico de g se muestra a continuación.

Criterio de la primera derivada

Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar losmínimos relativos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.

[editar]Teorema valor máximo y mínimo

"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."
1. Si f'(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c,f(c)).
2. Si f'(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c,f(c)).
3. Si f'(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo. El criterio no decide.


MÁXIMOS Y MíNIMOS

Recordemos que f derivable, es estrictamente creciente (decreciente) en a si, y sólo si f´(a) >0 (f´(a) <0); lo que geométricamente significa que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es positiva (negativa).

Recordemos también que si f derivable posee un máximo o un mínimo relativo en entonces f´(x) = 0; es decir, ese es un punto de tangente horizontal.

Veamos los criterios básicos para decidir si un punto es máximo o mínimo relativo:
1.    Por la definición en un entorno del punto.
2.    Por la variación del signo de la derivada primera en un entorno del punto, aunque la función no sea derivable en dicho punto:
a.   f decreciente en (a,c) y creciente en (c,b) posee un mínimo en (c,f(c)).
b.   f creciente en (a,c) y decreciente en (c,b) posee un máximo en (c,f(c)).

EJEMPLOS
3.     
4.    Por el signo de la derivada segunda en dicho punto (la función ha de ser dos veces derivable).
a.   Si f´(a) = 0 y f´´(x) > 0, f posee en a un mínimo local.
b.   Si f´(a) = 0 y f´´(x) < 0, f posee en a un máximo local.
Demostración:
a.   Por ser f´´(x) > 0 es f´ creciente en un entorno de a: a - h < a < a + h. Entonces:
b.   Demostración análoga.

Interpretación geométrica

Al ser f´(a) = 0, (a,f(a)) es de tangente horizontal.
a.   Si f´´(a) > 0, en un entorno de a es f´´(x) > 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos aumentan.
b.   Si f´´(a) < 0, en un entorno de a es f´´(x) < 0, es decir, las pendientes de las tangentes en dichos puntos disminuyen.
Recordemos que los máximos y mínimos absolutos se encuentran entre los extremos relativos y aquellos en los que la función no es derivable o, ni siquiera, continua.
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